Im Deutschen nennt man die "customer prompts" in diesem Kontext Pop-ups. Mit "native prompts" meint man die klassischen Formulare, z. B. ein Formular zum Abonnieren eines Newsletters am Ende der Seite oder an der Seite auf einer Webseite. (siehe "Online references)

"Customer prompt" scheint ein Synonym für "custom prompt", da der Kunde ja selbst entscheiden kann, wo das Pop-up auftauchen soll. Du könntest dafür, z. B. kundenspezifische Pop-ups schreiben.

Aus eigener Erfahrung kann ich dir auch sagen, dass mir diese "custom prompts" mittlerweile immer häufiger unterkommen. Außerdem wurde mir berichtet, dass es mittlerweile sogar Webshops gibt, in denen du während du die Produktliste herunterscrollst, mehrmals ein Pop-up bekommst, ob du das Produkt kaufen willst.