Im Justizpalast hat die Anwaltskammer üblicherweise eigene Räumlichkeiten (nicht nur Garderobe, sondern zumeist auch Bibliothek und Arbeitstische). Dort hat jeder zugelassene Anwalt auch ein eigenes kleines Postfach, über das die Anwälte einander ihre Schriftsätze weiterleiten.
Vestiaire 123 ist also die interne Korrespondenzanschrift: Anwalts(post)fach 123.

Häufig stattdessen auch noch: Toque 123. Toque war die frühere Kopfbedeckung der Anwälte, die heute nur noch zu feierlichen Gelegenheiten getragen wird. Vor Urzeiten steckten sich die Anwälte die abzugebenden und abgeholten Briefe in die Krempe der Toque.

Ob der Spruch "(den Schriftsatz) können Sie sich an den Hut stecken" damit etwas zu tun haben könnte, weiß ich nicht.