Розберімо це словосполучення на складові: це Office, який здійснює Order in Council Administration. Саме так, а не Administration Office, який займається документами під назвою Order in Council:

"Originals of enacted OICs are retained by Order in Council Administration, and copies are retained by individual ministries." (https://search-bcarchives.royalbcmuseum.bc.ca/cabinet-order-...

"Barbara Emerson works as Manager, OIC for Order In Council Administration."(http://www.goc411.ca/BC/13598/Barbara-Emerson)

Що таке Order in Council у Канаді:
Order in Council (OIC) - A legal instrument made by the Governor in Council pursuant to a statutory authority or, less frequently, the royal prerogative. All OICs are made on the recommendation of the responsible Minister of the Crown and take legal effect only when signed by the Governor General.

Оскільки Governor in Council — це те саме, що й Governor General, Order in Council можна перекласти як "наказ від імені генерал-губернатора". Чому від імені? Бо це не його власні накази, як бачимо з пояснення терміну вище, а накази за рекомендацією міністра. Зустрічається й дослівний переклад "наказ у раді" (друге посилання нижче). Вам вирішувати, який переклад обрати. Можливо, ви знайдете якийсь вдаліший варіант або надійне джерело, де вже є переклад цього терміну.

Щодо другої частини: судячи з наявної інформації в інтернеті, принаймні одна з функцій цієї установи — зберігання оригіналів таких наказів. Тому повний переклад назви цієї установи можна записати так: "Відділ документообігу наказів, (виданих) від імені генерал-губернатора". Це, звісно, довгий переклад. Можливо, ви знайдете кращий варіант.

--------------------------------------------------
Note added at 20 hrs (2023-06-14 06:59:01 GMT)
--------------------------------------------------

Whenever a piece of Canadian legislation, such as the Constitution, mentions the ‘Governor in Council’ this refers to the Governor General acting by and with the advice of the Queen's Privy Council for Canada.[1] In practice, this means the Governor General acting on advice given by federal Cabinet – the Privy Council’s operative branch. (https://www.constitutionalstudies.ca/2019/07/governor-in-cou...