Hola, Ion. A mí no me suena la expresión y no conozco el origen de este personaje, pero intuyo que expresa más o menos la idea que te propongo. Parece ser una expresión utilizada por la afición del Arsenal. Fíjate en estos ejemplos:

"Hector Bellerin. Now there is a problem arising for whomever is to be our manager.
Has a last decent season and thinks he is Jack the Peanut. Believes he is already the finished article and all he needs to do is turn up then bide his time until Barca/Real come calling."
https://arsenalarsenal.net/tag/bellerin/

"These defensive injuries are certain to arouse the smug “I told you so’s” amongst some of the AFC fans but before you get all Jack the Peanut – the defensive frailties have been highlighted by every single football fan and you are not cleverer than Mr Wenger – so sit down and shut up."
https://arsenalarsenal.net/tag/lukas-podolski/

"I always wanted a Cortina. Never had the money so I had an Escort. Crap car but I felt like Jack the Peanut driving it"
https://arsenalarsenal.net/2016/11/01/lets-get-this-one-over...

No sé si Suggs es del Arsenal (me parece que grabó una canción para el Chelsea), pero está relacionado con una zona del norte de Londres que es feudo de ese club.

En fin, aunque pudiéramos identificar el origen de la expresión, no significaría mucho para un público hispanohablante. Parece expresar la idea de una persona presumida, muy contenta consigo misma.